Le biais d'un estimateur

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 — Estimation · Le vocabulaire de l'estimation

Énoncé

Une suite d'estimateurs $(T_{n})$ d'un paramètre $θ$ vérifie $E (T_{n}) = θ + \frac{3}{n}$ pour tout $n ⩾ 1$ . Calculer son biais. Cet estimateur est-il sans biais ? Asymptotiquement sans biais ?

Corrigé

Le biais. Par définition, c'est l'écart entre l'espérance de l'estimateur et la quantité visée : $b (T_{n}) = E (T_{n}) - θ = \frac{3}{n} .$

Sans biais ? Non. Un estimateur est sans biais lorsque son biais est nul pour toute valeur du paramètre. Ici $b (T_{n}) = \frac{3}{n}$ est strictement positif pour tout $n$ : $T_{n}$ surestime systématiquement $θ$ .

Asymptotiquement sans biais ? Oui : $b (T_{n}) = \frac{3}{n} \to 0$ , donc $E (T_{n}) \to θ$ .

Ce que le biais coûte. Pour $n = 3$ , l'estimateur vise en moyenne $θ + 1$ : l'erreur systématique est de $1$ , indépendamment du nombre de tirages. Pour $n = 300$ , elle tombe à $0, 01$ et devient négligeable devant la dispersion.

Ce qui manque pour conclure. L'absence asymptotique de biais ne suffit pas à la convergence : il faut aussi que $V (T_{n}) \to 0$ . Les deux conditions sont indépendantes, et la condition suffisante du cours exige les deux.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.