Le prix d'un niveau de confiance plus élevé

L'élargissement. La demi-largeur vaut $t_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ : à $n$ et $\sigma$ fixés, elle est proportionnelle à $t_{\alpha }$. Le rapport vaut $\frac{2,58}{1,96}\approx 1,316$, soit un élargissement d'environ $32\%$.

Le rattrapage. Il faut une taille $n^{\prime }$ telle que $\frac{2,58}{\sqrt{n^{\prime }}}=\frac{1,96}{\sqrt{n}}$, donc

$$\sqrt{n^{\prime }}=\frac{2,58}{1,96}\sqrt{n}⟹n^{\prime }={\left(\frac{2,58}{1,96}\right)}^{2}n\approx 1,73n,$$

soit environ $73\%$ d'observations supplémentaires.

Un exemple chiffré. Un sondage sur $1000$ personnes a une demi-largeur d'au plus $\frac{1,96\times 0,5}{\sqrt{1000}}\approx 0,031$ au niveau $95\%$, et $\frac{2,58\times 0,5}{\sqrt{1000}}\approx 0,041$ au niveau $99\%$. Pour ramener celle-ci à $0,031$, il faudrait interroger environ $1730$ personnes.

La lecture. À taille fixée, confiance et précision se paient l'une l'autre. On ne gagne les deux qu'en augmentant $n$, et toujours en $\sqrt{n}$ : c'est le même mur que pour la précision seule.

Le point à retenir. Trois nombres sont liés — le niveau, la demi-largeur, la taille. En fixer deux détermine le troisième, et aucun n'est gratuit : un intervalle annoncé sans son niveau ne veut rien dire.