Le prix d'une marge deux fois plus fine

La relation. Notons $d(n)=\frac{c}{\sqrt{n}}$ la demi-largeur, où $c$ est une constante regroupant le quantile et l'écart-type.

Diviser par $2$. On cherche $n^{\prime }$ tel que $d(n^{\prime })=\frac{d(n)}{2}$, soit $$\frac{c}{\sqrt{n^{\prime }}}=\frac{c}{2\sqrt{n}}⟺\sqrt{n^{\prime }}=2\sqrt{n}⟺n^{\prime }=4n.$$ Il faut quadrupler l'échantillon.

Diviser par $5$. Le même calcul donne $\sqrt{n^{\prime }}=5\sqrt{n}$, donc $$n^{\prime }=25n.$$

La règle générale. Pour diviser la marge par $k$, il faut multiplier l'échantillon par $k^2$. La précision progresse en $\sqrt{n}$, jamais en $n$.

Ce que cela coûte en pratique. Un sondage à $1000$ personnes annonce une marge d'environ $3$ points. Pour la ramener à $1$ point, il en faudrait $9000$ ; pour $0,3$ point, $100000$. C'est cette loi en $\sqrt{n}$ qui rend les enquêtes très précises hors de prix — et aucune astuce de calcul ne la contourne : seule une réduction de la variance le pourrait.