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L'intervalle asymptotique. La demi-largeur est au plus

$$\frac{1,96\times 0,5}{\sqrt{1000}}=\frac{0,98}{31,62}\approx 0,031.$$

L'intervalle est $[0,489;0,551]$.

Conclusion. $0,5$ appartient à l'intervalle : on ne peut pas affirmer que le candidat est majoritaire. Le sondage est compatible avec $p=0,49$ comme avec $p=0,55$.

En affinant. Avec $f=0,52$, on peut prendre $\sqrt{f(1-f)}=0,4996$ au lieu de $0,5$ : la demi-largeur devient $0,0310$ au lieu de $0,0310$ — l'écart est négligeable. La majoration par $\frac{1}{4}$ ne coûte presque rien ici, $p$ étant proche de $\frac{1}{2}$.

Ce que la presse en fait. « $52\%$, soit une avance de deux points » n'a aucun sens statistique à cette taille d'échantillon. Il faudrait $n⩾2401$ pour trancher un écart de deux points.