Transformer un estimateur

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 — Estimation · Sans biais et convergent

Énoncé

Soit $T$ un estimateur sans biais de $m$ . La variable $2 T + 1$ est-elle un estimateur sans biais de $2 m + 1$ ? Et $T^{2}$ est-il un estimateur sans biais de $m^{2}$ ?

Corrigé

Le cas affine. L'espérance est linéaire, donc $E (2 T + 1) = 2 E (T) + 1 = 2 m + 1.$ Oui : $2 T + 1$ est un estimateur sans biais de $2 m + 1$ . Toute transformation affine passe ainsi au travers de l'espérance.

Le cas du carré. Non, en général. La formule de Huygens donne $E (T^{2}) = V (T) + (E (T))^{2} = V (T) + m^{2} .$ Le biais de $T^{2}$ vaut donc $V (T)$ , qui est strictement positif dès que $T$ n'est pas une constante. L'estimateur $T^{2}$ surestime systématiquement $m^{2}$ .

Un exemple chiffré. Si $T = X_{n}$ avec $V (X_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ , alors $E (X_{n}^{2}) = m^{2} + \frac{σ ^{2}}{n}$ : le biais vaut $\frac{σ ^{2}}{n}$ , non nul mais tendant vers $0$ .

Ce qui subsiste malgré tout. La fonction $t \mapsto t^{2}$ étant continue, le théorème de transport garantit que si $(T_{n})$ est une suite convergente d'estimateurs de $m$ , alors $(T_{n}^{2})$ est une suite convergente d'estimateurs de $m^{2}$ . La convergence survit toujours ; l'absence de biais, non.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.