Transformer un estimateur

Le cas affine. L'espérance est linéaire, donc $$E(2T+1)=2E(T)+1=2m+1.$$ Oui : $2T+1$ est un estimateur sans biais de $2m+1$. Toute transformation affine passe ainsi au travers de l'espérance.

Le cas du carré. Non, en général. La formule de Huygens donne $$E\left(T^2\right)=V(T)+(E(T){)}^2=V(T)+m^2.$$ Le biais de $T^2$ vaut donc $V(T)$, qui est strictement positif dès que $T$ n'est pas une constante. L'estimateur $T^2$ surestime systématiquement $m^2$.

Un exemple chiffré. Si $T=\overline{X_n}$ avec $V(\overline{X_n})=\frac{{\sigma }^2}{n}$, alors $E\left({\overline{X_n}}^2\right)=m^2+\frac{{\sigma }^2}{n}$ : le biais vaut $\frac{{\sigma }^2}{n}$, non nul mais tendant vers $0$.

Ce qui subsiste malgré tout. La fonction $t\mapsto t^2$ étant continue, le théorème de transport garantit que si $(T_n)$ est une suite convergente d'estimateurs de $m$, alors $\left(T_n^2\right)$ est une suite convergente d'estimateurs de $m^2$. La convergence survit toujours ; l'absence de biais, non.