Transport par une fonction continue

Convergence. $t\mapsto t^2$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc par le théorème du cours, ${\overline{X_n}}^2\stackrel{P}{\to }{m}^2$ : c'est bien une suite convergente d'estimateurs de $m^2$.

Biais. $E\left({\overline{X_n}}^2\right)=V\left(\overline{X_n}\right)+E(\overline{X_n}{)}^2=\frac{{\sigma }^2}{n}+m^2$, par Koenig-Huygens.

Le biais vaut donc $\frac{{\sigma }^2}{n}>0$ : l'estimateur est biaisé, et il surestime systématiquement $m^2$.

Mais convergent. Le biais tend vers $0$, et la suite reste convergente. C'est le phénomène général : une fonction non affine détruit l'absence de biais, sans nuire à la convergence.