Un estimateur biaisé mais convergent

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 — Estimation · Biais, variance et convergence

Énoncé

On pose $T_{n} = \frac{n}{n + 1} X_{n}$ . Calculer son biais et montrer qu'il est convergent.

Corrigé

Espérance. $E (T_{n}) = \frac{n}{n + 1} m$ , donc le biais vaut

$E (T_{n}) - m = (\frac{n}{n + 1} - 1) m = - \frac{m}{n + 1} \neq = 0.$

L'estimateur est biaisé.

Convergence. $E (T_{n}) \to m$ et $V (T_{n}) = (\frac{n}{n + 1})^{2} \frac{σ ^{2}}{n} \to 0$ . Par la condition suffisante, $(T_{n})$ est convergente.

La leçon. Un estimateur peut être biaisé et parfaitement utilisable, du moment que le biais s'efface. « Sans biais » n'est pas un critère de qualité absolu.

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