mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 12 · Exercice

Un estimateur sans biais

Estimation · Biais, variance et convergence · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $(X_{1}, \dots, X_{n})$ un $n$ -échantillon d'espérance $m$ . Montrer que $X_{n}$ est un estimateur sans biais de $m$ , et calculer sa variance.

Sans biais. Par linéarité, $E (X_{n}) = \frac{1}{n} \sum E (X_{i}) = \frac{nm}{n} = m$ , et ce pour toute valeur du paramètre.

Variance. Par indépendance, $V (X_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} \sum V (X_{i}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ .

Convergence. $E (X_{n}) = m$ pour tout $n$ et $V (X_{n}) \to 0$ : par la condition suffisante du cours, la suite $(X_{n})$ est convergente.