Un estimateur sans biais élémentaire

Sans biais. Par linéarité de l'espérance, $$E(T)=\frac{E(X_1)+E(X_2)}{2}=\frac{m+m}{2}=m,$$ et ceci pour toute valeur du paramètre : $T$ est bien un estimateur sans biais de $m$.

La variance. $X_1$ et $X_2$ appartiennent à un échantillon, donc sont indépendantes : leur covariance est nulle et les variances s'ajoutent. Le facteur $\frac{1}{2}$ intervient au carré : $$V(T)=\frac{1}{4}(V(X_1)+V(X_2))=\frac{2{\sigma }^2}{4}=\frac{{\sigma }^2}{2}.$$

La comparaison qui compte. La moyenne empirique complète a pour variance $\frac{{\sigma }^2}{n}$. Les deux estimateurs sont sans biais, mais dès que $n>2$, on a $\frac{{\sigma }^2}{n}<\frac{{\sigma }^2}{2}$ : la moyenne complète est strictement meilleure.

Et la convergence ? $V(T)=\frac{{\sigma }^2}{2}$ ne dépend pas de $n$ : elle ne tend pas vers $0$. La suite constante $(T)$ n'est donc pas convergente — elle ignore les observations $X_3,\dots ,X_n$, si nombreuses soient-elles. Ne pas se tromper en moyenne ne suffit jamais.