Un intervalle asymptotique qui ment

Ce que devient l'intervalle si $F_n=0$. La demi-largeur vaut alors $1,96\sqrt{0\times 1/30}=0$ : l'intervalle se réduit au point $\{0\}$. Comme $p=0,02\ne 0$, il ne contient pas la vraie valeur. Chaque échantillon sans aucun succès produit donc un intervalle faux.

La probabilité de cet événement. Le nombre de succès $n{F}_n$ suit la loi $\mathcal{B}(30;0,02)$, donc $$P([F_n=0])=(1-0,02{)}^{30}=0,98^{30}={\mathrm{e}}^{30\ln 0,98}\approx {\mathrm{e}}^{-0,606}\approx 0,545.$$

La majoration du taux de couverture. Notons $C$ l'événement « l'intervalle contient $p$ ». On vient de montrer que $[F_n=0]$ est inclus dans l'événement contraire de $C$, donc $$P(C)⩽1-P([F_n=0])\approx 1-0,545=0,455.$$ Un intervalle qui annonce $95\%$ ne couvre donc pas plus de $46\%$ des cas. Ce n'est pas une approximation médiocre : c'est un résultat faux.

Pourquoi l'approximation échoue. Le théorème limite central est asymptotique. Ici $np=30\times 0,02=0,6$ : l'échantillon contient en moyenne moins d'un succès, et la loi de $F_n$ est très loin d'une cloche — plus de la moitié de sa masse est concentrée en un seul point. Le rang à partir duquel l'approximation devient honnête dépend de $p$ : pour $p=0,5$, $n=30$ suffit ; pour $p=0,02$, il faut plutôt $n\approx 300$.

La leçon de méthode. Le niveau annoncé n'est pas une propriété du calcul, c'est une promesse à vérifier. Ici une simple probabilité, calculée exactement, suffit à démasquer la promesse — sans même simuler.