Un intervalle pour un paramètre de Poisson

La difficulté propre à cette loi. Pour une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, on a $E(X)=\lambda$ et $V(X)=\lambda$. L'écart-type $\sigma =\sqrt{\lambda }$ dépend donc du paramètre inconnu : on ne peut pas l'écrire dans l'intervalle tel quel.

Le point de départ. Par le théorème limite central, $$U_n=\sqrt{n}\frac{\overline{X_n}-\lambda }{\sqrt{\lambda }}$$ suit approximativement $\mathcal{N}(0,1)$, donc $P([|U_n|⩽1,96])\simeq 0,95$.

Remplacer l'écart-type par son estimation. $(\overline{X_n})$ estime $\lambda$ de façon convergente et $t\mapsto \sqrt{t}$ est continue sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ : donc $\sqrt{\overline{X_n}}$ estime $\sqrt{\lambda }$, et le rapport $\sqrt{\lambda }/\sqrt{\overline{X_n}}$ converge en probabilité vers $1$. La substitution ne modifie pas le niveau asymptotique, et $$\left[\overline{X_n}-1,96\sqrt{\frac{\overline{X_n}}{n}},\overline{X_n}+1,96\sqrt{\frac{\overline{X_n}}{n}}\right]$$ est un intervalle de confiance asymptotique de $\lambda$ au niveau $95\%$.

La valeur numérique. Avec $\overline{x}=2,25$ et $n=400$ : $$\sqrt{\frac{2,25}{400}}=\frac{1,5}{20}=0,075,1,96\times 0,075=0,147.$$ L'intervalle est donc $[2,103;2,397]$, arrondi prudemment en $[2,10;2,40]$.

Ce qui distingue ce cas. Ici l'écart-type n'est pas une nuisance à estimer à part : il est fonction du paramètre cherché. On ne peut donc ni le majorer par une constante universelle, comme pour une loi de Bernoulli, ni le supposer connu. C'est l'estimation de $\lambda$ elle-même qui sert à calibrer sa propre marge d'erreur.