Un intervalle quand l'écart-type est estimé

Le résultat du cours. Si les $X_i$ sont indépendantes de même loi, d'espérance $m$ et de variance ${\sigma }^2$ finie non nulle, alors $$\left[\overline{X_n}-t_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X_n}+t_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right]$$ est un intervalle de confiance asymptotique de $m$ au niveau $1-\alpha$, avec $t_{\alpha }=1,96$ pour $\alpha =0,05$.

Le problème. $\sigma$ est inconnu. On le remplace par sa valeur estimée $s=3,0$.

La justification. La suite des écarts-types empiriques est une suite convergente d'estimateurs de $\sigma$ : la variance empirique corrigée estime ${\sigma }^2$ sans biais et de variance tendant vers $0$, et le transport par la fonction continue $t\mapsto \sqrt{t}$ donne le résultat. Le rapport $\frac{\sigma }{s}$ converge donc en probabilité vers $1$, et la substitution ne change pas le niveau asymptotique. C'est bien un intervalle asymptotique, et non exact : la double approximation — loi normale limite, écart-type estimé — ne se justifie que pour $n$ grand, ce qui est le cas ici.

Le calcul. $$\frac{1,96\times 3,0}{\sqrt{500}}=\frac{5,88}{22,36}\approx 0,263.$$ L'intervalle est donc $$[12,4-0,263;12,4+0,263]=[12,137;12,663],$$ qu'on arrondit prudemment en $[12,13;12,67]$ — on élargit toujours, jamais l'inverse, sous peine de baisser le niveau annoncé.