Un intervalle quand l'écart-type est le paramètre

L'obstacle. Pour une loi exponentielle, $E(X)=\frac{1}{\lambda }$ et $\sigma =\sqrt{V(X)}=\frac{1}{\lambda }$ : l'écart-type est la quantité inconnue, et l'intervalle usuel $[\overline{X_n}\pm t_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$ n'est pas calculable tel quel.

La manœuvre. On garde la quantité normalisée sous sa forme. Par le théorème limite central,

$$\sqrt{n}\frac{\overline{X_n}-1/\lambda }{1/\lambda }=\sqrt{n}(\lambda \overline{X_n}-1)\stackrel{\mathcal{L}}{\to }\mathcal{N}(0,1):$$

l'écart-type s'est simplifié avec l'espérance, et il ne reste que le produit $\lambda \overline{X_n}$.

L'encadrement. $P\left(\right[|\sqrt{n}(\lambda \overline{X_n}-1)|⩽1,96\left]\right)\to 0,95$ s'écrit

$$1-\frac{1,96}{\sqrt{n}}⩽\lambda \overline{X_n}⩽1+\frac{1,96}{\sqrt{n}}.$$

L'application. $\sqrt{400}=20$ et $\frac{1,96}{20}=0,098$ ; en divisant par $\overline{x}=2,5>0$ :

$$\lambda \in \left[\frac{0,902}{2,5};\frac{1,098}{2,5}\right]=[0,361;0,439].$$

En passant à l'inverse, $\frac{1}{\lambda }\in [2,277;2,772]$ : un intervalle non symétrique autour de $2,5$, alors que la substitution naïve de $\sigma$ par $\overline{x}$ aurait donné $2,5\pm 0,245$.

Le point à retenir. Quand l'écart-type dépend du paramètre, on ne le remplace pas : on le laisse se simplifier, puis on résout l'encadrement en le paramètre. L'intervalle obtenu n'a aucune raison d'être centré sur l'estimation.