Une loi uniforme décalée

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 — Estimation · Biais, variance et convergence

Énoncé

Soit $(X_{1}, \dots, X_{n})$ un $n$ -échantillon de loi uniforme sur $[θ, θ + 1]$ , où $θ$ est inconnu. Montrer que $T_{n} = X_{n} - \frac{1}{2}$ est un estimateur sans biais de $θ$ , calculer sa variance, et conclure.

Corrigé

Les moments d'une observation. Si $X ↪ U ([θ, θ + 1])$ , alors $X - θ ↪ U ([0, 1])$ , donc $E (X) = θ + \frac{1}{2}$ et $V (X) = \frac{1}{12}$ .

Le biais. Par linéarité, $E (T_{n}) = (θ + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = θ$ , et ceci pour toute valeur de $θ$ — c'est ce qu'exige la définition. L'estimateur est sans biais.

La variance. Retrancher une constante ne la change pas, et l'indépendance donne

$V (T_{n}) = V (X_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n V (X_{i}) = \frac{1}{12 n} .$

La convergence. $E (T_{n}) = θ$ pour tout $n$ et $V (T_{n}) \to 0$ : par la condition suffisante du cours, $(T_{n})$ est une suite convergente d'estimateurs de $θ$ .

Le point délicat. La variance ne dépend pas de $θ$ . C'est propre au décalage : la loi est la même à translation près, donc sa dispersion aussi. On peut donc écrire directement un intervalle asymptotique, de demi-largeur $\frac{1 , 96}{12 n}$ au niveau $95 %$ , sans rien majorer.

Le point à retenir. Quand le paramètre n'est qu'une translation, tout se ramène au cas centré et l'écart-type devient une constante connue. C'est un cadeau rare : dès que le paramètre est un facteur d'échelle — une loi exponentielle, par exemple — la variance le contient et il faut ruser.

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