Une loi uniforme décalée

Les moments d'une observation. Si $X\hookrightarrow \mathcal{U}([\theta ,\theta +1])$, alors $X-\theta \hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$, donc $E(X)=\theta +\frac{1}{2}$ et $V(X)=\frac{1}{12}$.

Le biais. Par linéarité, $E(T_n)=\left(\theta +\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=\theta$, et ceci pour toute valeur de $\theta$ — c'est ce qu'exige la définition. L'estimateur est sans biais.

La variance. Retrancher une constante ne la change pas, et l'indépendance donne

$$V(T_n)=V\left(\overline{X_n}\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}V(X_i)=\frac{1}{12n}.$$

La convergence. $E(T_n)=\theta$ pour tout $n$ et $V(T_n)\to 0$ : par la condition suffisante du cours, $(T_n)$ est une suite convergente d'estimateurs de $\theta$.

Le point délicat. La variance ne dépend pas de $\theta$. C'est propre au décalage : la loi est la même à translation près, donc sa dispersion aussi. On peut donc écrire directement un intervalle asymptotique, de demi-largeur $\frac{1,96}{\sqrt{12n}}$ au niveau $95\%$, sans rien majorer.

Le point à retenir. Quand le paramètre n'est qu'une translation, tout se ramène au cas centré et l'écart-type devient une constante connue. C'est un cadeau rare : dès que le paramètre est un facteur d'échelle — une loi exponentielle, par exemple — la variance le contient et il faut ruser.