Ce qu'un seul point aberrant fait à la corrélation

Avant. $y_i=2x_i$ pour les cinq couples : les points sont alignés sur une droite de pente $2$, donc $r=1$ et $a=2$.

Après, le point moyen. $n=6$, $\overline{x}=\frac{21}{6}=3,5$ et $\overline{y}=\frac{30}{6}=5$.

Covariance. $\overline{xy}=\frac{2+8+18+32+50+0}{6}\approx 18,333$, donc $s_{xy}=18,333-3,5\times 5=0,8333$.

Variances. $\overline{x^2}=\frac{91}{6}\approx 15,167$ donne $s_x^2=2,9167$ ; $\overline{y^2}=\frac{220}{6}\approx 36,667$ donne $s_y^2=11,667$.

Les deux nombres.

$$r=\frac{0,8333}{\sqrt{2,9167\times 11,667}}=\frac{0,8333}{5,8333}=0,143,a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=0,286.$$

Le commentaire. Un seul point sur six fait tomber $r$ de $1$ à $0,14$ et la pente de $2$ à $0,29$. La raison est que ces indicateurs sont bâtis sur des moyennes de produits d'écarts : un point qui s'écarte de $10$ de la tendance y pèse cent fois plus qu'un point qui s'en écarte de $1$.

Le code.

import numpy as np
x = np.array([1., 2, 3, 4, 5, 6])
y = np.array([2., 4, 6, 8, 10, 0])
cov = np.mean(x*y) - np.mean(x)*np.mean(y)
print(cov/np.var(x), cov/(np.std(x)*np.std(y)))

Le point à retenir. On regarde le nuage avant de lire un coefficient : celui-ci résume, il ne montre pas — et il ne signale jamais lui-même le point unique qui l'a fabriqué.