Ce que vaut exactement une corrélation de un

Le premier nuage. On remarque $y_i=3x_i-1$ pour les quatre points : ils sont exactement alignés. Vérifions-le par le calcul. $\overline{x}=2,5$, $\overline{y}=6,5$, et $$s_{xy}=\frac{1}{4}\sum x_i{y}_i-\overline{x}\overline{y}=\frac{2+10+24+44}{4}-16,25=20-16,25=3,75.$$ Puis $s_x^2=\frac{1+4+9+16}{4}-6,25=1,25$ et $s_y^2=\frac{4+25+64+121}{4}-42,25=53,5-42,25=11,25$. Donc $$r=\frac{3,75}{\sqrt{1,25\times 11,25}}=\frac{3,75}{3,75}=1,a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=3,b=6,5-3\times 2,5=-1.$$ La droite est $y=3x-1$, et $|r|=1$ : c'est le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, qui caractérise l'alignement exact.

Le nuage modifié. Avec $y=(2,5,8,12)$ : $\overline{y}=6,75$, $$s_{xy}=\frac{2+10+24+48}{4}-2,5\times 6,75=21-16,875=4,125,$$ $$s_y^2=\frac{4+25+64+144}{4}-45,5625=59,25-45,5625=13,6875.$$ D'où $$r=\frac{4,125}{\sqrt{1,25\times 13,6875}}\approx 0,9972,a=\frac{4,125}{1,25}=3,3,b=6,75-3,3\times 2,5=-1,5.$$

Ce que la comparaison montre. Un déplacement d'une seule unité sur un seul point fait chuter $r$ de $1$ à $0,997$ et fait passer la pente de $3$ à $3,3$, soit $10\%$. La valeur $1$ est un maximum : $r$ ne peut que baisser, et il baisse d'autant plus vite que le point déplacé est aux extrémités du nuage.