Changer d'unité ne change pas la corrélation

Les moyennes. La moyenne est linéaire : $\overline{x^{\prime }}=\alpha \overline{x}+\beta$ et $\overline{y^{\prime }}=\gamma \overline{y}+\delta$. Donc les écarts à la moyenne se transforment simplement : $$x_i^{\prime }-\overline{x^{\prime }}=\alpha (x_i-\overline{x}),y_i^{\prime }-\overline{y^{\prime }}=\gamma (y_i-\overline{y}).$$ Les constantes $\beta$ et $\delta$ ont disparu : une translation ne modifie ni la dispersion ni la liaison.

La covariance empirique. $$s_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i^{\prime }-\overline{x^{\prime }})(y_i^{\prime }-\overline{y^{\prime }})=\alpha \gamma \times \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=\alpha \gamma s_{xy}.$$

Les écarts types. De même $s_{x^{\prime }}^2={\alpha }^2{s}_x^2$, donc $s_{x^{\prime }}=|\alpha |s_x$, et $s_{y^{\prime }}=|\gamma |s_y$ — la valeur absolue, car un écart type est positif.

Le nouveau coefficient. $$r^{\prime }=\frac{\alpha \gamma s_{xy}}{|\alpha ||\gamma |s_x{s}_y}=\frac{\alpha \gamma }{|\alpha \gamma |}r=\mathrm{signe}(\alpha \gamma )\times r.$$

Conclusion. Si $\alpha$ et $\gamma$ sont de même signe, $r^{\prime }=r$ : le coefficient de corrélation est invariant par changement d'unité et d'origine. S'ils sont de signes contraires, $r^{\prime }=-r$ : seul le sens de la liaison s'inverse, son intensité $|r|$ ne bouge pas.

Ce que cela vaut en pratique. Passer des euros aux milliers d'euros, des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit, ne change rien à $r$. C'est ce qui en fait une mesure sans dimension de la liaison, contrairement à la covariance, dont la valeur dépend entièrement des unités choisies.