Classer trois points critiques

Points critiques. $\nabla f=(4x^3-4y,4y^3-4x)$ s'annule quand $y=x^3$ et $x=y^3$, donc $x=x^9$, soit $x(x^8-1)=0$ : $x\in \{0,1,-1\}$. Les points critiques sont $(0,0)$, $(1,1)$ et $(-1,-1)$.

Hessienne. ${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}12x^2& -4\\ -4& 12y^2\end{array}\right)$.

En $(0,0)$. La hessienne est $A=\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ -4& 0\end{array}\right)$. Elle vérifie $A^2=16I$, donc $A^2-16I=0$ : ses valeurs propres sont parmi $\{-4,4\}$, et comme $A\ne 4I$ et $A\ne -4I$ les deux sont atteintes. Signes opposés : point selle.

En $(1,1)$. La hessienne est $\left(\begin{array}{cc}12& -4\\ -4& 12\end{array}\right)=12I-4J$ avec $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Comme $J^2=I$ et $J\ne \pm I$, les valeurs propres de $J$ sont $1$ et $-1$, donc celles de la hessienne sont $12-4=8$ et $12+4=16$ : deux valeurs strictement positives, minimum local, de valeur $f(1,1)=1+1-4=-2$.

En $(-1,-1)$. La hessienne y est la même qu'en $(1,1)$ : encore un minimum local, de valeur $-2$.

Remarque. Aucun de ces calculs n'a demandé autre chose qu'un polynôme annulateur, conformément au chapitre 2.