Covariance empirique et droite d'ajustement

Les moyennes. $\overline{x}=\frac{1+3+5+7}{4}=4$ et $\overline{y}=\frac{4+5+9+10}{4}=7$.

La covariance empirique, par la formule de Huygens : $$s_{xy}=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{x}_i{y}_i-\overline{x}\overline{y}=\frac{4+15+45+70}{4}-28=\frac{134}{4}-28=5,5.$$

La variance empirique de $x$ : $$s_x^2=\frac{1+9+25+49}{4}-16=21-16=5.$$

La droite. La pente vaut $$a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{5,5}{5}=1,1,$$ et l'ordonnée à l'origine $$b=\overline{y}-a\overline{x}=7-1,1\times 4=2,6.$$ La droite de régression de $y$ en $x$ est donc $$y=1,1x+2,6.$$

Le contrôle. Elle doit passer par le point moyen : $1,1\times 4+2,6=7=\overline{y}$. C'est vérifié — et c'est le contrôle à faire systématiquement, car il détecte aussitôt une erreur sur $b$.