Deux estimateurs pour une loi uniforme

Le premier. $E(X_1)=\frac{\theta }{2}$ donne $E(T_n)=\theta$. Et $V(X_1)=\frac{{\theta }^2}{12}$ donne $V(T_n)=\frac{4}{n}\cdot \frac{{\theta }^2}{12}=\frac{{\theta }^2}{3n}$.

La loi du maximum. Pour $t\in [0,\theta ]$, l'indépendance donne $P(M_n\le t)=\prod P(X_i\le t)={\left(\frac{t}{\theta }\right)}^n$, d'où la densité $\frac{n{t}^{n-1}}{{\theta }^n}$ sur $[0,\theta ]$.

Ses moments. $E(M_n)={\int }_0^{\theta }t\cdot \frac{n{t}^{n-1}}{{\theta }^n}\mathrm{d}t=\frac{n\theta }{n+1}$ et $E(M_n^2)=\frac{n{\theta }^2}{n+2}$, donc $V(M_n)=\frac{n{\theta }^2}{n+2}-\frac{n^2{\theta }^2}{(n+1{)}^2}=\frac{n{\theta }^2}{(n+2)(n+1{)}^2}$.

Le second estimateur. $E(T_n^{\prime })=\frac{n+1}{n}\cdot \frac{n\theta }{n+1}=\theta$ : sans biais. Et $V(T_n^{\prime })={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2\frac{n{\theta }^2}{(n+2)(n+1{)}^2}=\frac{{\theta }^2}{n(n+2)}$.

Le choix. Le rapport des variances vaut $\frac{{\theta }^2/(3n)}{{\theta }^2/(n(n+2))}=\frac{n+2}{3}$, qui tend vers $+\infty$. Le second est meilleur, et son avantage croît avec $n$ : sa variance décroît en $1/n^2$ quand celle du premier décroît en $1/n$.

Vérification. Pour $n=10$ et $\theta =3$ : $V(T_n)=0,3$, $V(T_n^{\prime })=\frac{9}{120}=0,075$, rapport $4=\frac{12}{3}$. La simulation du cours donne $0,2997$ et $0,0755$.

Pourquoi. $\overline{X_n}$ n'utilise l'information de chaque tirage que par sa moyenne ; le maximum, lui, exploite le fait que toutes les observations sont sous $\theta$. C'est une information bien plus directe sur le paramètre cherché.