Deux façons de simuler le premier des deux

La loi de $M$. Un minimum dépasse $t$ si et seulement si les deux variables le dépassent, donc par indépendance, pour $t⩾0$ : $$P([M>t])=P([X>t])P([Y>t])={\mathrm{e}}^{-t}\times {\mathrm{e}}^{-t}={\mathrm{e}}^{-2t}.$$ Donc $F_M(t)=1-{\mathrm{e}}^{-2t}$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$ : $M$ suit la loi $\mathcal{E}(2)$, d'espérance $\frac{1}{2}$.

Première méthode : simuler les deux et prendre le plus petit.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1)
N = 200000
X = -np.log(1 - rng.random(N))
Y = -np.log(1 - rng.random(N))
M1 = np.minimum(X, Y)
print(round(float(M1.mean()), 4))     # proche de 0.5

Seconde méthode : simuler directement la loi limite. Par inversion, pour $\mathcal{E}(\lambda )$ on a $F^{-1}(u)=-\frac{\ln (1-u)}{\lambda }$, donc ici

M2 = -np.log(1 - rng.random(N))/2
print(round(float(M2.mean()), 4))     # proche de 0.5

La comparaison des coûts. La première méthode consomme deux tirages uniformes et deux logarithmes par valeur produite, plus une comparaison ; la seconde n'en consomme qu'un. Pour une même précision, elle est donc environ deux fois plus rapide — et l'écart se creuse si l'on prend le minimum de $n$ variables, où la première méthode coûte $n$ tirages contre toujours un seul.

Ce que la comparaison ne dit pas. Que la première méthode soit inutile : elle seule fournit aussi $X$ et $Y$ séparément, si l'on en a besoin — par exemple pour savoir lequel des deux a été le premier. Choisir sa méthode de simulation en fonction de la question posée fait partie des compétences attendues.