Dimensionner avant de lancer

La formule à inverser. L'estimateur est la fréquence $F_n$, dont chaque terme est une indicatrice de variance $p(1-p)$. La demi-largeur au niveau $95\%$ vaut $$d=\frac{1,96\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}},\text{donc}n⩾{\left(\frac{1,96\sqrt{p(1-p)}}{d}\right)}^2.$$

Le cas le plus défavorable. La fonction $p\mapsto p(1-p)$ est maximale en $p=\frac{1}{2}$, où elle vaut $\frac{1}{4}$ : c'est la majoration universelle. Avec $\sqrt{p(1-p)}⩽0,5$ et $d=0,001$ : $$n⩾{\left(\frac{1,96\times 0,5}{0,001}\right)}^2=980^2=960400.$$ Un peu moins d'un million de tirages.

Si $p\approx 0,02$. Alors $\sqrt{p(1-p)}=\sqrt{0,02\times 0,98}=\sqrt{0,0196}=0,14$, et $$n⩾{\left(\frac{1,96\times 0,14}{0,001}\right)}^2=274,4^2\approx 75296.$$ Treize fois moins.

Le piège de cette seconde réponse. La demande $d<0,001$ est ici très exigeante en relatif : $0,001$ représente $5\%$ de $0,02$, alors que c'est $0,2\%$ de $0,5$. Pour une précision relative donnée, ce sont au contraire les petites probabilités qui coûtent cher : viser $d=0,01p$ demande $$n⩾\frac{1,96^{2}p(1-p)}{(0,01p{)}^2}=\frac{1,96^2(1-p)}{10^{-4}p},$$ soit environ $1882000$ pour $p=0,02$ contre $38400$ pour $p=0,5$ : cinquante fois plus.

La règle de conduite. On dimensionne l'échantillon avant de lancer le calcul, à partir d'un ordre de grandeur de $\sigma$ — quitte à le majorer grossièrement. Lancer d'abord et regarder ensuite, c'est se condamner à recommencer.