Dimensionner un calcul de Monte-Carlo

Travaux pratiques avec Python · Monte-Carlo, estimation et intervalles · niveau 2

Énoncé

On estime $θ = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ par $θ_{n} = \frac{1}{n} \sum e^{- U_{i}^{2}}$ , avec $U_{i}$ uniformes sur $[0, 1]$ . Sachant que l'écart type de $e^{- U^{2}}$ vaut $σ ≃ 0, 201$ , combien faut-il de tirages pour que la demi-largeur de l'intervalle à $95 %$ soit inférieure à $0, 005$ ? À $0, 0005$ ?

Corrigé

La condition. On veut $\frac{1 , 96 σ}{n} \leq ε$ , soit $n \geq (\frac{1 , 96 σ}{ε})^{2}$ .

Pour $ε = 0, 005$ . $\frac{1 , 96 \times 0 , 201}{0 , 005} = 78, 79$ , dont le carré vaut $6208$ . Environ $6200$ tirages.

Pour $ε = 0, 0005$ . Le rapport est multiplié par $10$ , donc $n$ par $100$ : environ $620000$ tirages.

Lecture. Une décimale supplémentaire coûte cent fois plus cher. C'est la signature du $1/ n$ , et c'est ce qui rend la méthode inadaptée dès qu'on exige beaucoup de précision — alors qu'elle reste imbattable en grande dimension, où ce coût ne dépend pas du nombre de variables.

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