Dimensionner un calcul de Monte-Carlo

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 13 — Travaux pratiques avec Python · Monte-Carlo, estimation et intervalles

Énoncé

On estime $θ = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ par $θ_{n} = \frac{1}{n} \sum e^{- U_{i}^{2}}$ , avec $U_{i}$ uniformes sur $[0, 1]$ . Sachant que l'écart type de $e^{- U^{2}}$ vaut $σ ≃ 0, 201$ , combien faut-il de tirages pour que la demi-largeur de l'intervalle à $95 %$ soit inférieure à $0, 005$ ? À $0, 0005$ ?

Corrigé

La condition. On veut $\frac{1 , 96 σ}{n} \leq ε$ , soit $n \geq (\frac{1 , 96 σ}{ε})^{2}$ .

Pour $ε = 0, 005$ . $\frac{1 , 96 \times 0 , 201}{0 , 005} = 78, 79$ , dont le carré vaut $6208$ . Environ $6200$ tirages.

Pour $ε = 0, 0005$ . Le rapport est multiplié par $10$ , donc $n$ par $100$ : environ $620000$ tirages.

Lecture. Une décimale supplémentaire coûte cent fois plus cher. C'est la signature du $1/ n$ , et c'est ce qui rend la méthode inadaptée dès qu'on exige beaucoup de précision — alors qu'elle reste imbattable en grande dimension, où ce coût ne dépend pas du nombre de variables.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.