Gradient et ligne de niveau

Travaux pratiques avec Python · Fonctions de plusieurs variables · niveau 2

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Soit $f (x, y) = x^{2} + 3 y^{2}$ . Déterminer la ligne de niveau passant par $A = (3, 1)$ , le gradient en $A$ , et vérifier qu'ils sont orthogonaux.

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La ligne de niveau. $f (3, 1) = 9 + 3 = 12$ : c'est l'ellipse $x^{2} + 3 y^{2} = 12$ , de demi-axes $12 = 23$ et $2$ .

Le gradient. $\nabla f (x, y) = (2 x, 6 y)$ , donc $\nabla f (A) = (6, 6)$ .

La tangente. En dérivant $x^{2} + 3 y^{2} = 12$ le long de la courbe : $2 x + 6 y y^{'} = 0$ , donc $y^{'} (3) = - \frac{2 \times 3}{6 \times 1} = - 1$ . Un vecteur tangent est $(1, - 1)$ .

L'orthogonalité. $⟨(6, 6), (1, - 1)⟩ = 6 - 6 = 0$ . L'angle est droit.

En général. La même dérivation donne $2 x + 6 y y^{'} = 0$ , soit $⟨ \nabla f, (1, y^{'})⟩ = 0$ en tout point où $y \neq = 0$ : la propriété n'a rien de particulier à $A$ .

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