Inversion pour une densité triangulaire

Travaux pratiques avec Python · Simulation de lois · niveau 2

Énoncé

Soit $X$ de densité $f (x) = 2 x$ sur $[0, 1]$ , nulle ailleurs. Écrire $F$ , puis $F^{- 1}$ , et donner la ligne de Python qui simule $X$ . Calculer l'espérance et la variance.

Corrigé

Fonction de répartition. Pour $x \in [0, 1]$ , $F (x) = \int_{0}^{x} 2 t d t = x^{2}$ ; elle vaut $0$ avant et $1$ après.

Réciproque. $F$ est continue et strictement croissante de $[0, 1]$ sur $[0, 1]$ . Pour $u \in] 0, 1 [$ , $F (x) = u$ donne $x = u$ , donc $F^{- 1} (u) = u$ .

Simulation.


ech = np.sqrt(rng.random(N))

Espérance. $E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2 x d x = [\frac{2 x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} ≃ 0, 6667$ . La moyenne empirique de l'échantillon simulé doit s'en approcher.

Variance. $E (X^{2}) = \int_{0}^{1} 2 x^{3} d x = \frac{1}{2}$ , donc $V (X) = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18} ≃ 0, 0556$ .

Énoncé

Corrigé

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