La demi-largeur d'un calcul de Monte-Carlo

La garantie du cours. Pour $n$ grand, $$P\left(|{\hat{\theta }}_n-\theta |⩽\frac{1,96\sigma }{\sqrt{n}}\right)\simeq 0,95.$$

Le calcul. Avec $\sigma =0,5$ et $n=10^4$, donc $\sqrt{n}=100$ : $$d=\frac{1,96\times 0,5}{100}=0,0098.$$ On connaît $\theta$ à environ un centième près.

Diviser la demi-largeur par $10$. Il faut $\sqrt{n^{\prime }}=10\sqrt{n}$, donc $$n^{\prime }=100n=10^6.$$ Cent fois plus de tirages pour dix fois moins d'erreur.

La loi d'airain de la méthode. L'erreur décroît en $\frac{1}{\sqrt{n}}$, et aucune astuce de programmation n'y change rien. Le seul levier est $\sigma$ : réduire la dispersion de $\phi (X)$ — en reformulant le problème — divise l'erreur sans augmenter le nombre de tirages.

Ce qui la sauve malgré tout. Le $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ne dépend pas du nombre de variables en jeu. C'est ce qui rend Monte-Carlo utilisable en grande dimension, là où les méthodes de quadrature s'effondrent.