La fonction de répartition empirique

La bonne écriture. Posons $Y_i=1$ si $X_i⩽t$ et $Y_i=0$ sinon. Les $Y_i$ sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre $F(t)$, et par définition du cardinal

$${\hat{F}}_n(t)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i=\overline{Y_n}.$$

Tout le reste en découle : c'est la moyenne empirique d'un échantillon de Bernoulli.

Sans biais. $E({\hat{F}}_n(t))=E(Y_1)=F(t)$, quelle que soit la loi de $X$ et quel que soit $t$.

Convergent. Par indépendance, $V({\hat{F}}_n(t))=\frac{F(t)(1-F(t))}{n}\to 0$ ; avec l'absence de biais, la condition suffisante conclut.

La précision. Comme $F(t)(1-F(t))⩽\frac{1}{4}$, la demi-largeur de l'intervalle asymptotique au niveau $95\%$ vaut au plus $\frac{1,96\times 0,5}{\sqrt{n}}=\frac{0,98}{\sqrt{n}}$, indépendante de $t$ et de la loi. Pour $n=10^4$ : $\pm 0,0098$.

Le point délicat. Cette majoration est grossière dans les queues. Si $F(t)=0,01$, la vraie demi-largeur vaut $1,96\sqrt{\frac{0,0099}{10^4}}\approx 0,00195$, cinq fois moins — mais rapportée à la valeur estimée $0,01$, l'erreur relative atteint $20\%$. Estimer une petite probabilité coûte proportionnellement bien plus cher.

Le code. La comparaison étant vectorielle, une ligne suffit :

F_chapeau = np.mean(ech <= t)

Le point à retenir. Toute probabilité s'estime comme une fréquence, et une fréquence est une moyenne de Bernoulli : c'est ce qui fait de Monte-Carlo un cas particulier de la loi des grands nombres.