La hessienne et son spectre

Le point critique. ${\partial }_{1}f=2x$ et ${\partial }_{2}f=6y$ s'annulent simultanément au seul point $(0,0)$, où $f$ vaut $0$.

La matrice hessienne. Les dérivées secondes sont ${\partial }_{1,1}^{2}f=2$, ${\partial }_{2,2}^{2}f=6$ et ${\partial }_{1,2}^{2}f=0$, donc $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 6\end{array}\right)\text{en tout point.}$$ Elle est symétrique, comme le théorème de Schwarz le garantit.

Les valeurs propres. La matrice étant diagonale, son spectre se lit directement : $\{2,6\}$.

La conclusion. Le spectre est contenu dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ : $f$ admet un minimum local en $(0,0)$. Il est même global, puisque la hessienne a le même spectre positif en tout point de l'ouvert convexe ${\mathbb{R}}^2$.

Le contrôle direct. $f(x,y)=x^2+3y^2⩾0=f(0,0)$, avec égalité seulement en $(0,0)$. Sur machine, numpy.linalg.eigvalsh rendrait [2. 6.] — commande réservée aux matrices symétriques, ce qui est légitime ici.