La loi de Cauchy et sa médiane

Pas d'espérance. L'espérance existe si et seulement si ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{|x|}{\pi (1+x^2)}\mathrm{d}x$ converge. Or sur $[1,+\infty [$, $\frac{x}{\pi (1+x^2)}\sim \frac{1}{\pi x}$, dont l'intégrale diverge. L'espérance n'existe donc pas.

Attention au faux argument. On ne peut pas conclure « par symétrie l'espérance vaut $0$ » : la symétrie ne donne la valeur que si l'intégrale converge, et ici elle ne converge pas. C'est l'erreur classique sur cette loi.

Médiane. $F(x)=\frac{1}{2}+\frac{\arctan x}{\pi }$ vaut $\frac{1}{2}$ pour $x=0$ : la médiane est $0$. Elle existe, elle, et la loi a bien un centre.

En simulation. La moyenne empirique ne se stabilise pas : la loi faible des grands nombres ne s'applique pas, faute d'espérance, et une seule valeur extrême suffit à la déplacer. La médiane empirique, en revanche, converge vers $0$ : elle ne dépend que du rang des observations, qu'une valeur extrême ne change pas.

Ce que la simulation prouve. Rien — c'est le calcul de l'intégrale divergente qui démontre. La simulation ne fait qu'exhiber le symptôme.