La méthode d'inversion pour une loi exponentielle

La fonction de répartition. Pour $x⩾0$, $$F(x)={\int }_0^x\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x},$$ et $F(x)=0$ pour $x<0$. Elle est continue et strictement croissante de ${\mathbb{R}}_{+}$ sur $[0,1[$.

La réciproque. Pour $u\in \left]0,1\right[$ : $$u=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}⟺{\mathrm{e}}^{-\lambda x}=1-u⟺x=-\frac{\ln (1-u)}{\lambda }.$$ Le passage au logarithme est licite car $1-u>0$.

Le théorème d'inversion. Si $U$ suit la loi uniforme sur $\left]0,1\right[$, alors $F^{-1}(U)$ admet $F$ pour fonction de répartition, donc suit la loi voulue.

Le code.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(4)
ech = -np.log(1 - rng.random(200000))/1.5
print(round(float(ech.mean()), 4))     # proche de 0.6667

Les deux contrôles. La moyenne empirique doit approcher $\frac{1}{\lambda }\approx 0,6667$ : c'est l'échelle. Et la fréquence de $[X⩽1]$ doit approcher $1-{\mathrm{e}}^{-1,5}\approx 0,7769$ : c'est la forme. Un seul contrôle ne suffit pas — une loi de moyenne juste peut avoir une forme fausse.