Le gradient en un point

Les dérivées partielles. Pour ${\partial }_{1}f$, on dérive par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante ; le terme $3y$ disparaît : $${\partial }_{1}f(x,y)=2xy.$$ Pour ${\partial }_{2}f$, on dérive par rapport à $y$ à $x$ constant : $${\partial }_{2}f(x,y)=x^2+3.$$

Le gradient. $$\nabla f(x,y)=(2xy,x^2+3),\nabla f(1,2)=(4,4).$$

Point critique ? Non : un point critique est un point où le gradient s'annule, et ici $\nabla f(1,2)=(4,4)\ne (0,0)$.

Mieux : il n'y a aucun point critique. La seconde coordonnée $x^2+3$ est minorée par $3$ : elle ne s'annule jamais. Par la condition nécessaire d'ordre $1$, $f$ n'admet donc aucun extremum local sur ${\mathbb{R}}^2$.

La lecture géométrique. En $(1,2)$, le gradient $(4,4)$ pointe dans la direction de plus forte croissance, ici la première bissectrice ; et il est orthogonal à la ligne de niveau passant par ce point.