Le graphe et son plan tangent

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 13 — Travaux pratiques avec Python · Fonctions de plusieurs variables

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} - 2 y^{2}$ et $A = (1, 1)$ . Écrire l'équation du plan affine tangent au graphe au-dessus de $A$ , déterminer la position du graphe par rapport à ce plan au voisinage de $A$ , et relier au spectre de la hessienne.

Corrigé

Le plan tangent. $f (1, 1) = - 1$ et $\nabla f (x, y) = (2 x, - 4 y)$ , donc $\nabla f (A) = (2, - 4)$ et le plan tangent au point $(1, 1, - 1)$ a pour équation

$z = f (A) + 2 (x - 1) - 4 (y - 1) = 2 x - 4 y + 1.$

L'écart au plan. Posons $δ (x, y) = f (x, y) - (2 x - 4 y + 1) = x^{2} - 2 y^{2} - 2 x + 4 y - 1$ . En développant $(x - 1)^{2} - 2 (y - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1 - 2 y^{2} + 4 y - 2$ , on reconnaît $δ$ :

$δ (x, y) = (x - 1)^{2} - 2 (y - 1)^{2} .$

La position. $δ (1 + h, 1) = h^{2} > 0$ : dans la direction des $x$ , le graphe est au-dessus du plan. $δ (1, 1 + k) = - 2 k^{2} < 0$ : dans celle des $y$ , il est au-dessous. Le graphe traverse donc son plan tangent, aussi près de $A$ qu'on veut.

Le lien avec la hessienne. $\nabla^{2} f = (20 0 - 4)$ , constante, de valeurs propres $2$ et $- 4$ : signes opposés. Ce n'est pas fortuit. $f$ étant polynomiale de degré $2$ , son développement d'ordre $2$ est exact, et $δ$ est exactement la fonction quadratique associée à $\frac{1}{2} \nabla^{2} f$ , évaluée en $h = (x - 1, y - 1)$ .

Une précaution de vocabulaire. Le mot point selle est réservé aux points critiques, et $\nabla f (A) \neq = 0$ : $A$ n'en est pas un. L'unique point critique de $f$ est l'origine, où la même traversée se produit — et là, le mot est le bon.

À l'écran. plt.contour sur une grille np.meshgrid montre des lignes de niveau hyperboliques : la signature de deux signes opposés.

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