Le graphe reste au-dessus de son plan tangent

Les données en $A$. $f(1,2)=1+4=5$, et $$\nabla f(x,y)=(2x,2y),\nabla f(1,2)=(2,4).$$

Le plan tangent. Il a pour équation $$z=f(A)+⟨\nabla f(A),(x-1,y-2)⟩=5+2(x-1)+4(y-2),$$ c'est-à-dire $$z=2x+4y-5.$$

La position du graphe. On calcule l'écart entre le graphe et le plan, en tout point du plan : $$f(x,y)-(2x+4y-5)=x^2+y^2-2x-4y+5.$$ On regroupe en carrés : $$x^2-2x+1=(x-1{)}^2,y^2-4y+4=(y-2{)}^2,$$ et $1+4=5$ : les constantes tombent juste. Donc $$f(x,y)-(2x+4y-5)=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2⩾0.$$

Conclusion. Le graphe est au-dessus de son plan tangent en tout point du plan, et il ne le touche qu'en $A$ — l'égalité exigeant $x=1$ et $y=2$. Le contact est ponctuel.

Le lien avec la hessienne. Ici ${\nabla }^{2}f=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ en tout point, de spectre $\{2\}\subset {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. Le développement limité d'ordre $2$ prédit alors que le graphe reste localement au-dessus du plan tangent ; le calcul ci-dessus le confirme, et va plus loin — il le montre globalement, parce que la fonction est ici exactement égale à son développement d'ordre $2$.