Les deux droites et le coefficient de corrélation

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 13 — Travaux pratiques avec Python · Statistiques descriptives bivariées

Énoncé

Montrer que les droites de régression de $y$ en $x$ et de $x$ en $y$ se coupent au point moyen. Un élève affirme qu'elles sont confondues si et seulement si le produit de leurs pentes, lues toutes deux comme des pentes de $y$ par rapport à $x$ , vaut $1$ . A-t-il raison ? Conclure sur $r$ .

Corrigé

Le point commun. La première droite s'écrit $y = a (x - x) + y$ : elle passe par $G$ . La seconde s'écrit $x = a^{'} (y - y) + x$ , qui donne $x = x$ pour $y = y$ : elle passe par $G$ aussi. Deux droites distinctes ayant un point commun se coupent en ce point, et il est unique.

L'affirmation est juste, mais elle ne dit pas ce qu'on croit. La première droite a pour pente $a$ dans le repère $(x, y)$ ; la seconde, résolue en $y$ , a pour pente $1/ a^{'}$ . Deux droites de même pente passant par un même point sont confondues : la condition $a \times \frac{1}{a ^{'}} = 1$ , soit $a = 1/ a^{'}$ , équivaut bien à la confusion des deux droites.

Le piège. Cette condition s'écrit $a a^{'} = 1$ , et non $\frac{a}{a ^{'}} = 1$ : c'est le produit $a a^{'}$ des deux coefficients de l'énoncé, pas le produit des deux pentes vues dans le repère $(x, y)$ . Confondre les deux est l'erreur classique.

Conclusion. $a a^{'} = \frac{s _{x y}^{2}}{s _{x}^{2} s _{y}^{2}} = r^{2}$ . Les deux droites sont donc confondues si et seulement si $r^{2} = 1$ , c'est-à-dire si les points sont exactement alignés.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.