Lignes de niveau et gradient d'un produit

Les lignes de niveau. Pour $c\ne 0$, la ligne de niveau $c$ est l'hyperbole d'équation $xy=c$, soit $y=\frac{c}{x}$ sur chacune des deux branches. Pour $c=0$, l'ensemble $\{xy=0\}$ est la réunion des deux axes de coordonnées.

Le gradient. ${\partial }_{1}f=y$ et ${\partial }_{2}f=x$, donc $$\nabla f(x,y)=(y,x),\nabla f(2,3)=(3,2).$$ Il est non nul : le théorème du cours s'applique.

Paramétrer la ligne de niveau. Le point $(2,3)$ est sur la ligne de niveau $c=6$. On la paramètre par $$\gamma (t)=\left(t,\frac{6}{t}\right),t>0,$$ avec $\gamma (2)=(2,3)$. En dérivant, $${\gamma }^{\prime }(t)=\left(1,-\frac{6}{t^2}\right),{\gamma }^{\prime }(2)=\left(1,-\frac{3}{2}\right).$$

L'orthogonalité. $$⟨\nabla f(2,3),{\gamma }^{\prime }(2)⟩=3\times 1+2\times \left(-\frac{3}{2}\right)=3-3=0.$$ L'angle droit est exact, et non approché.

Pourquoi c'était prévisible. La fonction $t\mapsto f(\gamma (t))$ vaut $6$ en tout $t$ : elle est constante, donc de dérivée nulle. Or la dérivation composée donne $⟨\nabla f(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩$ : ce produit scalaire est nul en tout point de toute ligne de niveau. C'est ce qui fait du gradient la direction de plus forte pente — il est perpendiculaire aux directions où la fonction ne varie pas.