Redresser un modèle puissance

Travaux pratiques avec Python · Statistiques descriptives bivariées · niveau 2

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On soupçonne un modèle $y = α x^{β}$ . Quelle transformation rend le nuage linéaire ? Comment lit-on $α$ et $β$ sur la droite ajustée ? Écrire les quatre lignes de Python qui rendent le couple $(α, β)$ .

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La transformation. En passant au logarithme des deux variables : $ln y = ln α + β ln x$ . Le nuage $(ln x, ln y)$ est alors aligné. C'est le tracé dit « log-log », à distinguer du semi-logarithmique du cours, qui redresse une exponentielle.

La lecture. La pente de la droite ajustée est $β$ ; son ordonnée à l'origine est $ln α$ , donc $α$ en est l'exponentielle.

Le code.


u, v = np.log(x), np.log(y)
beta = ((u - u.mean())*(v - v.mean())).mean()/u.var()
alpha = np.exp(v.mean() - beta*u.mean())
print(alpha, beta)

Une précaution. La transformation exige $x > 0$ et $y > 0$ . Elle déforme aussi les poids : une erreur relative constante devient une erreur absolue constante sur les logarithmes, ce qui donne aux petites valeurs plus d'importance qu'elles n'en avaient.

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