Redresser un modèle puissance

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 13 — Travaux pratiques avec Python · Statistiques descriptives bivariées

Énoncé

On soupçonne un modèle $y = α x^{β}$ . Quelle transformation rend le nuage linéaire ? Comment lit-on $α$ et $β$ sur la droite ajustée ? Écrire les quatre lignes de Python qui rendent le couple $(α, β)$ .

Corrigé

La transformation. En passant au logarithme des deux variables : $ln y = ln α + β ln x$ . Le nuage $(ln x, ln y)$ est alors aligné. C'est le tracé dit « log-log », à distinguer du semi-logarithmique du cours, qui redresse une exponentielle.

La lecture. La pente de la droite ajustée est $β$ ; son ordonnée à l'origine est $ln α$ , donc $α$ en est l'exponentielle.

Le code.


u, v = np.log(x), np.log(y)
beta = ((u - u.mean())*(v - v.mean())).mean()/u.var()
alpha = np.exp(v.mean() - beta*u.mean())
print(alpha, beta)

Une précaution. La transformation exige $x > 0$ et $y > 0$ . Elle déforme aussi les poids : une erreur relative constante devient une erreur absolue constante sur les logarithmes, ce qui donne aux petites valeurs plus d'importance qu'elles n'en avaient.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.