Simuler une loi discrète par inversion

La fonction de répartition. Elle est en escalier : $F(t)=0$ pour $t<1$, $F(t)=0,2$ pour $1⩽t<2$, $F(t)=0,7$ pour $2⩽t<3$, et $F(t)=1$ pour $t⩾3$.

Le principe d'inversion, adapté au discret. On découpe $\left]0,1\right[$ en trois intervalles de longueurs $0,2$, $0,5$ et $0,3$, et l'on rend la valeur associée à celui où tombe $U$ : $$X=1\text{ si }U<0,2,X=2\text{ si }0,2⩽U<0,7,X=3\text{ sinon.}$$ Comme $U$ est uniforme, la probabilité de tomber dans chaque intervalle est exactement sa longueur : les trois probabilités voulues sont bien reproduites.

Le code.

import random

def simuler():
    u = random.random()
    if u < 0.2:
        return 1
    elif u < 0.7:
        return 2
    return 3

L'espérance. $$E(X)=1\times 0,2+2\times 0,5+3\times 0,3=0,2+1+0,9=2,1.$$

Le contrôle à faire tourner. Sur $N=10^5$ appels, la moyenne des valeurs rendues doit approcher $2,1$, et la fréquence de la valeur $2$ doit approcher $0,5$. Deux contrôles valent mieux qu'un : le premier vérifie l'échelle, le second la répartition. Une erreur classique — écrire u <= 0.2 puis u <= 0.5 au lieu de 0.7 — passerait le premier contrôle de justesse et échouerait franchement au second.