Simuler une loi uniforme sur un intervalle

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 13 — Travaux pratiques avec Python · Simuler et estimer

Énoncé

Écrire la ligne de Python qui simule une variable de loi uniforme sur $[2, 7]$ à partir d'un tirage uniforme sur $] 0, 1 [$ , puis donner son espérance et sa variance.

Corrigé

La transformation. Si $U$ suit la loi uniforme sur $] 0, 1 [$ , alors $X = a + (b - a) U$ suit la loi uniforme sur $[a, b]$ : la transformation est affine croissante, elle envoie $] 0, 1 [$ sur $] a, b [$ et conserve l'uniformité. Ici $a = 2$ et $b = 7$ , donc $X = 2 + 5 U$ .

Le code.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(2)
ech = 2 + 5*rng.random(100000)

Les moments. Pour la loi uniforme sur $[a, b]$ : $E (X) = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 7}{2} = 4, 5, V (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} = \frac{25}{12} \approx 2, 083.$

Le contrôle par la transformation. On retrouve les mêmes valeurs à partir de $E (U) = \frac{1}{2}$ et $V (U) = \frac{1}{12}$ : $E (2 + 5 U) = 2 + 5 \times 0, 5 = 4, 5, V (2 + 5 U) = 5^{2} \times \frac{1}{12} = \frac{25}{12} .$ Le $5$ intervient au carré dans la variance, et le $2$ n'y intervient pas : deux concordances valent mieux qu'une formule recopiée.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.