Un balayage qui rate le minimum

import numpy as np
f = lambda x, y: x**2 + 2*y**2
xs = np.linspace(-2, 6, 10)
v = f(xs, 3 - xs)
i = v.argmin()
print(round(xs[i], 4), round(v[i], 4))

Le calcul exact. On substitue $y=3-x$ : $$g(x)=x^2+2(3-x{)}^2=3x^2-12x+18.$$ C'est un polynôme de degré $2$ de coefficient dominant $3>0$ : son minimum global est atteint là où $g^{\prime }(x)=6x-12$ s'annule, soit $x=2$. Alors $y=1$ et $$g(2)=12-24+18=6.$$

Ce que rend le programme. np.linspace(-2, 6, 10) produit dix points régulièrement espacés de $-2$ à $6$, donc de pas $\frac{8}{9}\approx 0,8889$. La valeur $x=2$ n'en fait pas partie : les deux points qui l'encadrent sont $$x_5=-2+4\times \frac{8}{9}\approx 1,5556\text{et}{x}_6=-2+5\times \frac{8}{9}\approx 2,4444.$$ Par symétrie de la parabole autour de $x=2$, ces deux points donnent la même valeur : $$g(1,5556)=g(2,4444)=3\times (0,4444{)}^2+6\approx 6,5926.$$ Le programme affiche donc $1,5556$ et $6,5926$ (argmin rend le premier indice en cas d'égalité), au lieu de $2$ et $6$.

Pourquoi ce n'est pas une erreur de programmation. Le code est juste ; c'est la méthode qui est limitée. Un balayage ne visite qu'une grille finie : il rend le meilleur des points visités, jamais le minimum de la fonction. Ici l'erreur sur $x$ atteint $0,44$, et rien dans la sortie ne l'annonce.

Ce qu'il faut en conclure. Un balayage corrobore un calcul, il ne le remplace pas. Augmenter le nombre de points réduit l'écart — avec np.linspace(-2, 6, 100001) on retrouve $2,0$ et $6,0$ — mais aucune finesse de grille ne démontre que le minimum est atteint : c'est la dérivée qui le garantit.