Un minimum sous contrainte linéaire

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 13 — Travaux pratiques avec Python · Fonctions de plusieurs variables

Énoncé

Minimiser $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ sous la contrainte $x + 2 y + 3 z = 14$ . Interpréter géométriquement le résultat.

Corrigé

Substitution. On pose $x = 14 - 2 y - 3 z$ et l'on étudie $g (y, z) = (14 - 2 y - 3 z)^{2} + y^{2} + z^{2}$ sur $R^{2}$ .

Point critique. $\partial_{y} g = - 4 (14 - 2 y - 3 z) + 2 y$ et $\partial_{z} g = - 6 (14 - 2 y - 3 z) + 2 z$ . En notant $x = 14 - 2 y - 3 z$ , le système s'écrit $y = 2 x$ et $z = 3 x$ . En reportant dans la contrainte : $x + 4 x + 9 x = 14$ , donc $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ .

Nature. La partie quadratique de $g$ est $(2 y + 3 z)^{2} + y^{2} + z^{2}$ , strictement positive hors de l'origine : $g$ est une fonction quadratique convexe, et son unique point critique est un minimum global. Sa valeur est $1 + 4 + 9 = 14$ .

Géométrie. Minimiser $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ sur un plan affine, c'est chercher le point du plan le plus proche de l'origine : c'est le projeté orthogonal de l'origine sur ce plan (chapitre 9). Le point trouvé, $(1, 2, 3)$ , est bien colinéaire au vecteur normal $(1, 2, 3)$ du plan — ce qui confirme le calcul sans le refaire.

Vérification numérique. $\frac{1 4 ^{2}}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{196}{14} = 14$ : c'est le carré de la distance de l'origine au plan.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.