Un tableau, deux droites

Le point moyen. $\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$ et $\overline{y}=\frac{3+4+6+7+10}{5}=6$, donc $G=(3,6)$.

Les trois quantités de base. Par la formule de Huygens empirique : $$s_{xy}=\frac{3+8+18+28+50}{5}-3\times 6=21,4-18=3,4,$$ $$s_x^2=\frac{1+4+9+16+25}{5}-9=11-9=2,$$ $$s_y^2=\frac{9+16+36+49+100}{5}-36=42-36=6.$$

Le coefficient de corrélation. $$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{3,4}{\sqrt{2}\sqrt{6}}=\frac{3,4}{\sqrt{12}}\approx 0,9815.$$

La droite de $y$ en $x$. $a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{3,4}{2}=1,7$ et $b=\overline{y}-a\overline{x}=6-5,1=0,9$, soit $$y=1,7x+0,9.$$

La droite de $x$ en $y$. $a^{\prime }=\frac{s_{xy}}{s_y^2}=\frac{3,4}{6}\approx 0,5667$ et $b^{\prime }=\overline{x}-a^{\prime }\overline{y}=3-3,4=-0,4$, soit $$x=0,5667y-0,4.$$

La relation entre les pentes. $$a{a}^{\prime }=1,7\times 0,5667\approx 0,9633,r^2\approx 0,9815^2\approx 0,9633.$$ On retrouve $a{a}^{\prime }=r^2$, comme le cours l'établit.

Ce qu'il ne faut pas faire. Pour prédire $y$ à partir de $x=6$, on emploie la première droite : $y\approx 11,1$. Retourner la seconde donnerait $y=\frac{x+0,4}{0,5667}\approx 11,3$ — proche, mais faux : les deux droites ne coïncident que si $|r|=1$, et choisir la mauvaise est une erreur de modèle, pas une approximation.