Une loi géométrique par une exponentielle et un plancher

Le paramètre est licite. $0<1-p<1$, donc $\ln (1-p)<0$ et $\lambda >0$. On retient la relation qui servira : ${\mathrm{e}}^{-\lambda }=1-p$.

L'événement à traduire. $Y>0$ presque sûrement, donc $Z$ est à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, et pour $k⩾1$,

$$[Z=k]=[\lfloor Y\rfloor =k-1]=[k-1⩽Y<k].$$

Le calcul. La fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ vaut $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$, donc

$$P([Z=k])={\mathrm{e}}^{-\lambda (k-1)}-{\mathrm{e}}^{-\lambda k}={\mathrm{e}}^{-\lambda (k-1)}(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }).$$

Le choix de $\lambda$ paie. En remplaçant ${\mathrm{e}}^{-\lambda }$ par $1-p$, $P([Z=k])=p(1-p{)}^{k-1}$ : c'est exactement la loi géométrique de paramètre $p$, et la correspondance est une égalité, non une approximation.

Le code.

import numpy as np
import numpy.random as rd
p = 0.3
lam = -np.log(1 - p)
ech = np.floor(rd.exponential(1/lam, 100000)) + 1
print(np.mean(ech), 1/p)      # environ 3.33 des deux cotes

Le piège. rd.exponential attend l'espérance $\frac{1}{\lambda }$, non le paramètre $\lambda$ : c'est l'erreur la plus fréquente sur cette commande, et elle produit un échantillon plausible mais faux.

Le point à retenir. On ne simule presque jamais une loi directement : on part d'une loi qu'on sait tirer, on la transforme, et l'on démontre que la transformée a exactement la loi voulue.