Une loi qui a une espérance mais pas de variance

La fonction de répartition. Pour $x⩾1$, $$F(x)={\int }_1^x\frac{2}{t^3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{1}{t^2}\right]}_1^x=1-\frac{1}{x^2},$$ et $F(x)=0$ pour $x<1$. On vérifie $F(1)=0$ et ${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$ : c'est bien une fonction de répartition, donc $f$ est bien une densité.

La réciproque. $F$ est continue et strictement croissante de $[1,+\infty [$ sur $[0,1[$. Pour $u\in \left]0,1\right[$ : $$u=1-\frac{1}{x^2}⟺x^2=\frac{1}{1-u}⟺x=\frac{1}{\sqrt{1-u}}(x⩾1).$$

La simulation, par la méthode d'inversion. Si $U$ suit la loi uniforme sur $\left]0,1\right[$, alors $F^{-1}(U)$ a pour fonction de répartition $F$ :

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
ech = 1/np.sqrt(1 - rng.random(100000))

L'espérance. ${\int }_1^{+\infty }x\frac{2}{x^3}\mathrm{d}x={\int }_1^{+\infty }\frac{2}{x^2}\mathrm{d}x={\left[-\frac{2}{x}\right]}_1^{+\infty }=2$ : l'intégrale converge, donc $E(X)=2$.

La variance. Elle exige un moment d'ordre $2$. Or $${\int }_1^A{x}^2\frac{2}{x^3}\mathrm{d}x={\int }_1^A\frac{2}{x}\mathrm{d}x=2\ln A\underset{A\to +\infty }{\to }+\infty .$$ L'intégrale diverge : $X$ n'admet pas de moment d'ordre $2$, donc pas de variance.

La conséquence en simulation. La loi faible des grands nombres s'applique — elle n'exige que l'espérance — donc la moyenne empirique converge vers $2$. Mais le théorème limite central ne s'applique pas : il exige une variance finie. On ne peut donc pas encadrer l'estimation par $1,96\sigma /\sqrt{n}$, et l'intervalle de confiance asymptotique usuel n'a aucun sens ici. La convergence a lieu, sa vitesse est inconnue.