mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 13 · Exercice d'entraînement

Une moyenne empirique qui ne se stabilise pas

Travaux pratiques avec Python · Monte-Carlo et estimation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $U$ de loi uniforme sur $] 0, 1 [$ . Étudier l'existence de $E (\frac{1}{U})$ , puis dire ce qu'affiche le programme suivant et comment l'interpréter.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(7)
for n in (10**3, 10**4, 10**5, 10**6):
    print(n, round(float((1/rng.random(n)).mean()), 3))

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Élève

Par la loi faible des grands nombres, la moyenne affichée par le programme doit tendre vers $E (1/ U)$ : je pensais lancer le programme et lire la valeur. Pourquoi l'énoncé demande-t-il d'abord d'en étudier l'existence ?

Parce que la loi faible des grands nombres suppose que les $1/ U_{i}$ admettent une espérance, et même une variance dans la version du cours : c'est précisément ce qu'il faut vérifier avant tout. Par quel théorème exprimes-tu $E (1/ U)$ , et sous quelle condition existe-t-elle ?

Élève

Par le théorème de transfert, avec une densité égale à $1$ sur $] 0, 1 [$ : il faut que l'intégrale de $\frac{1}{t}$ sur $] 0, 1 [$ converge. Le seul problème est au voisinage de $0$ .

C'est bien là que tout se joue. Que dit le cours sur les intégrales $\int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{α}}$ selon la valeur de $α$ ? Et selon la réponse, comment la moyenne affichée devrait-elle se comporter quand $n$ est multiplié par $10$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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