Une moyenne empirique qui ne se stabilise pas

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(7)
for n in (10**3, 10**4, 10**5, 10**6):
    print(n, round(float((1/rng.random(n)).mean()), 3))

L'espérance n'existe pas. La densité de $U$ vaut $1$ sur $\left]0,1\right[$, donc il faudrait que $${\int }_0^1\frac{1}{t}\times 1\mathrm{d}t$$ converge. Or, pour $\epsilon \in ]0,1[$, $${\int }_{\epsilon }^1\frac{\mathrm{d}t}{t}=-\ln \epsilon \underset{\epsilon \to 0^{+}}{\to }+\infty .$$ L'intégrale diverge : la variable $\frac{1}{U}$ n'admet pas d'espérance.

Ce qu'affiche le programme. Avec cette graine, on lit $$6,3109,33512,87612,500.$$ La moyenne ne se stabilise sur rien : elle grimpe, puis redescend entre $10^5$ et $10^6$ tirages. Multiplier par mille le nombre de tirages n'a pas resserré le résultat d'un chiffre, et la quatrième valeur est plus petite que la troisième. Rien ne converge — il n'existe aucun nombre vers lequel la moyenne aurait à tendre.

Le mécanisme. La moyenne est dominée par le plus petit tirage : sur $n$ tirages uniformes, le minimum est de l'ordre de $\frac{1}{n}$, donc son inverse de l'ordre de $n$, et il apporte à lui seul environ $1$ à la moyenne. Chaque décuplement de $n$ apporte ainsi une contribution nouvelle, dont la taille est le fruit du hasard — d'où l'allure croissante en tendance et les reculs.

Ce que la simulation prouve, et ce qu'elle ne prouve pas. Elle ne démontre pas la divergence — c'est le calcul de l'intégrale qui le fait. Elle en montre le symptôme, qu'il faut savoir reconnaître : une moyenne empirique qui refuse de se fixer alors que $n$ est déjà grand doit faire soupçonner une espérance inexistante ou une queue très lourde, et non un manque de tirages. Ajouter des tirages n'y changera rien.