Des dimensions de sous-espaces propres calculées par le rang

Le spectre. $A$ est triangulaire inférieure, donc son spectre est l'ensemble de ses coefficients diagonaux : $$\mathrm{Sp}(A)=\{2,5\}.$$

La dimension de $E_2$. Par définition $E_2(A)=\ker (A-2I_3)$, et le théorème du rang donne $\dim E_2(A)=3-\mathrm{rg}(A-2I_3)$. Or $$A-2I_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$$ Ses colonnes sont ${}^t(0,1,0)$, ${}^t(0,0,0)$ et ${}^t(0,0,3)$ : la famille formée des deux colonnes non nulles est libre (elles ne sont pas colinéaires), donc le rang vaut $2$. D'où $$\dim E_2(A)=3-2=1.$$

La dimension de $E_5$. $$A-5I_3=\left(\begin{array}{ccc}-3& 0& 0\\ 1& -3& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$ Les deux premières colonnes, ${}^t(-3,1,0)$ et ${}^t(0,-3,0)$, ne sont pas colinéaires ; la troisième est nulle. Le rang vaut $2$, donc $$\dim E_5(A)=3-2=1.$$

La somme. $$\dim E_2(A)+\dim E_5(A)=1+1=2.$$ Le cours affirme que cette somme est toujours inférieure ou égale à la dimension de l'espace : ici $2⩽3$, l'inégalité est stricte. Les deux sous-espaces propres, bien qu'en somme directe, ne remplissent pas ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

Le point délicat. On n'a jamais résolu de système : la dimension d'un sous-espace propre se lit sur le rang de $A-\lambda I_n$, ce qui est bien plus rapide.