Deux sous-espaces propres ne se rencontrent qu'en zéro

L'intersection. Soit $x\in E_{\lambda }(f)\cap E_{\mu }(f)$. Alors $f(x)=\lambda x$ et $f(x)=\mu x$, d'où en soustrayant $$(\lambda -\mu )x=0_E.$$ Comme $\lambda \ne \mu$, le scalaire $\lambda -\mu$ est non nul, donc $x=0_E$. L'inclusion réciproque est immédiate : $0_E$ appartient à tout sous-espace vectoriel. Donc $E_{\lambda }(f)\cap E_{\mu }(f)=\{0_E\}$.

La somme est directe. C'est exactement le critère du chapitre 1 : une somme de deux sous-espaces est directe si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul. On peut donc écrire $E_{\lambda }(f)\oplus E_{\mu }(f)$.

L'inégalité des dimensions. La dimension d'une somme directe est la somme des dimensions : $$\dim (E_{\lambda }(f)\oplus E_{\mu }(f))=\dim E_{\lambda }(f)+\dim E_{\mu }(f).$$ Or $E_{\lambda }(f)\oplus E_{\mu }(f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$, donc sa dimension est au plus $\dim (E)$. D'où l'inégalité annoncée.

Ce qu'elle interdit. En dimension $3$, pas deux sous-espaces propres de dimension $2$ : $2+2=4>3$, sans le moindre calcul.

Le point à retenir. La somme des dimensions des sous-espaces propres ne dépasse jamais $\dim (E)$ ; le chapitre 3 montrera que le cas d'égalité caractérise exactement les endomorphismes diagonalisables.