mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 2 · Exercice

Éléments propres transportés

Éléments propres et polynômes annulateurs · Polynômes en un endomorphisme · niveau 2

Énoncé

Soit $A \in M_{3} (R)$ admettant $2$ pour valeur propre, de vecteur propre $X$ . Que valent $A^{2} X$ , $(A^{2} - 3 A + I_{3}) X$ ? Que peut-on dire de $2$ vis-à-vis du spectre de $A^{2} - 3 A + I_{3}$ ?

Corrigé

Par le théorème de transport, $A^{k} X = 2^{k} X$ , donc

$A^{2} X = 4 X, (A^{2} - 3 A + I_{3}) X = (4 - 6 + 1) X = - X .$

Ainsi $X$ , qui est non nul, est vecteur propre de $B = A^{2} - 3 A + I_{3}$ pour la valeur propre $- 1$ . Donc $- 1 \in Sp (B)$ .

Ce qu'il ne faut pas dire. $2$ n'est pas valeur propre de $B$ ; c'est $Q (2) = - 1$ qui l'est, avec $Q (x) = x^{2} - 3 x + 1$ . Le vecteur propre, lui, est le même — c'est la direction qui se conserve, pas le facteur.

Exercices semblables

Un polynôme annulateur donné corrigé
Un endomorphisme sans valeur propre réelle corrigé
Une matrice dont le cube est nul corrigé
Spectre d'un polynôme en $f$ corrigé
Une famille libre de vecteurs propres corrigé

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre