Éléments propres transportés

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Polynômes en un endomorphisme

Énoncé

Soit $A \in M_{3} (R)$ admettant $2$ pour valeur propre, de vecteur propre $X$ . Que valent $A^{2} X$ , $(A^{2} - 3 A + I_{3}) X$ ? Que peut-on dire de $2$ vis-à-vis du spectre de $A^{2} - 3 A + I_{3}$ ?

Corrigé

Par le théorème de transport, $A^{k} X = 2^{k} X$ , donc

$A^{2} X = 4 X, (A^{2} - 3 A + I_{3}) X = (4 - 6 + 1) X = - X .$

Ainsi $X$ , qui est non nul, est vecteur propre de $B = A^{2} - 3 A + I_{3}$ pour la valeur propre $- 1$ . Donc $- 1 \in Sp (B)$ .

Ce qu'il ne faut pas dire. $2$ n'est pas valeur propre de $B$ ; c'est $Q (2) = - 1$ qui l'est, avec $Q (x) = x^{2} - 3 x + 1$ . Le vecteur propre, lui, est le même — c'est la direction qui se conserve, pas le facteur.

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