L'opérateur de différence sur les polynômes

Un endomorphisme de $E$. La linéarité est immédiate : $\Delta (\lambda P+\mu R)(x)=\lambda (P(x+1)-P(x))+\mu (R(x+1)-R(x))$. Reste à voir que $\Delta (P)\in {\mathbb{R}}_3[x]$, et mieux : que $\Delta$ abaisse le degré.

Le degré chute. Soit $P$ de degré exactement $d⩾1$, de coefficient dominant $a_d$. Le terme de degré $d$ de $P(x+1)$ est $a_d{x}^d$ — le même que celui de $P(x)$, puisque $(x+1{)}^d=x^d+\dots$ — donc il disparaît dans la différence. Ainsi $\mathrm{deg}\Delta (P)⩽d-1$. Et si $P$ est constant, $\Delta (P)=0$.

La puissance quatrième. Partant de $P\in {\mathbb{R}}_3[x]$, donc de degré au plus $3$, on obtient successivement $$\mathrm{deg}\Delta (P)⩽2,\mathrm{deg}{\Delta }^2(P)⩽1,\mathrm{deg}{\Delta }^3(P)⩽0,{\Delta }^4(P)=0,$$ la dernière étape parce que $\Delta$ annule les constantes. Ceci pour tout $P$ : ${\Delta }^4=0$.

Le spectre. $Q=x^4$ est donc annulateur de $\Delta$, et toute valeur propre est racine de $Q$ : $\mathrm{Sp}(\Delta )\subset \{0\}$. Par ailleurs $\Delta (1)=1-1=0$ avec le polynôme constant $1$ non nul, donc $0$ est effectivement valeur propre : $$\mathrm{Sp}(\Delta )=\{0\}.$$

Le sous-espace propre. $E_0(\Delta )=\ker \Delta =\{P\in {\mathbb{R}}_3[x]\mid P(x+1)=P(x)\}$. Si $P$ est de degré $d⩾1$, on vient de voir que $\Delta (P)$ est de degré exactement $d-1$ : en effet le terme de degré $d-1$ de $P(x+1)-P(x)$ vaut $d{a}_d{x}^{d-1}$, non nul. Donc $\Delta (P)\ne 0$, et seuls les polynômes constants sont dans le noyau : $$E_0(\Delta )={\mathbb{R}}_0[x]=\mathrm{Vect}(1),\dim E_0(\Delta )=1.$$