Le spectre d'une homothétie

Le candidat. Le polynôme $Q=x-5$ vérifie $Q(f)=f-5{\mathrm{Id}}_E=0$ : c'est un polynôme annulateur de $f$. Toute valeur propre de $f$ est racine de $Q$, donc $$\mathrm{Sp}(f)\subset \{5\}.$$

Le candidat est atteint. Comme $E$ est de dimension $3$, il n'est pas réduit au vecteur nul : choisissons $x\in E$ non nul. Alors $$f(x)=5x,$$ avec $x\ne 0$ : $5$ est bien valeur propre, de vecteur propre $x$. Donc $\mathrm{Sp}(f)=\{5\}$.

Le sous-espace propre. Par définition, $$E_5(f)=\ker (f-5{\mathrm{Id}}_E)=\ker (0)=E,$$ puisque l'application nulle a pour noyau l'espace tout entier. Autrement dit, tout vecteur non nul de $E$ est vecteur propre pour la valeur $5$. D'où $$\dim E_5(f)=\dim E=3.$$

Ce qu'il faut en retenir. Une homothétie n'a qu'une valeur propre, mais son sous-espace propre est aussi grand que possible. Le nombre de valeurs propres et la taille des sous-espaces propres sont deux informations indépendantes : ici une seule valeur, et la somme des dimensions vaut déjà $3=\dim E$.