Le spectre d'une matrice triangulaire

La lecture du spectre. $A$ est triangulaire inférieure : tous ses coefficients situés au-dessus de la diagonale sont nuls. Le théorème du cours s'applique aux matrices triangulaires, dans un sens comme dans l'autre : le spectre est l'ensemble des coefficients diagonaux. Ici la diagonale est $(4,-1,0)$, donc $$\mathrm{Sp}(A)=\{4,-1,0\}.$$

Pourquoi ce théorème. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, la matrice $A-\lambda I_3$ est encore triangulaire, de coefficients diagonaux $4-\lambda$, $-1-\lambda$ et $-\lambda$. Or une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n'est nul. Donc $A-\lambda I_3$ est non inversible — c'est-à-dire $\lambda$ est valeur propre — exactement lorsque $\lambda$ vaut $4$, $-1$ ou $0$.

L'inversibilité. $0$ appartient au spectre de $A$, ce qui signifie qu'il existe $X\ne 0$ avec $AX=0$ : le noyau de $A$ n'est pas réduit au vecteur nul, donc $$A\text{n’est pas inversible}.$$ On pouvait aussi le dire directement : $A$ est triangulaire avec un coefficient diagonal nul.

À retenir. « $0$ est valeur propre » et « la matrice n'est pas inversible » sont deux façons de dire la même chose.